Question

【題目】閱讀理解

（1）如圖1，在中，，，，為邊上的點，且，若，，求的長．

思考如下：注意到條件中有，，不妨把繞點順時針旋轉，得到，連接，易證，從而將線段，，集中在了中，因為的度數是________；，所以的長為 ；

類比探究

（2）如圖2，在中，，，，為邊上的點，且，，，求的長；

拓展應用

（3）如圖3，是正方形內一點，，是邊上一點，且，若，請直接寫出當取最小值時的長．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得△ACE≌△ABF，△ADE≌△ADF，得∠ABF=∠ACE=30°, DE=DF，再證明△BDF是直角三角形，運用勾股定理求出DF的長即可得到結論；

（2）將繞點逆時針旋轉，得到，連接，CF, 過點作交的延長線于點，方法同（1）證明得，求出FG和CG的長，再運用勾股定理即可EF的長，從而得到結論；

（3）將繞點順時針旋轉，得到取的中點連接，取最小值時，點在上，方法同（2）可證明得OF=OG，在真的三角形BOF中運用勾股定理可求出結論.

（1）∵AB=AC，∠BAC=120°

∴∠ABC=∠ACB=30°

把繞點順時針旋轉，得到，

∴△ABF≌△ACE

∴∠ABF=∠ACE=30°

∴∠FBD=60°；

連接，

∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°

∵∠BAF=∠CAE，

∴∠BAF+∠BAD=60°，即∠DAF=60°

∴∠DAF=∠DAE，

又AF=AE，AD=AD，

∴△DAF≌△DAE，

∴DF=DE

∵BD=1，BF=CE=2，且∠FBD=60°

∴∠BFD=30°，

∴∠BDF=90°，

∴

∴DE=

故答案為：60；；

（2）∵，，

∴是等邊三角形，

∴，

如圖2 ，將繞點逆時針旋轉，得到連接

則.

又

.

如圖2，過點作交的延長線于點.

在中，

在中，

.

（3）如圖3，將繞點順時針旋轉，得到

取的中點連接.

因為，

所以取最小值時，點在上

由類比，得.

設的長為

則.

所以，

解得

∴.