Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，點（0，1），點（1，0），正方形的兩條對角線的交點為，延長至點，使．延長至點，使，以，為鄰邊做正方形．

（Ⅰ）如圖①，求的長及的值；

（Ⅱ）如圖②，正方形固定，將正方形繞點逆時針旋轉，得正方形，記旋轉角為（0°＜＜360°），連接．

①旋轉過程中，當90°時，求的大小；

②在旋轉過程中，求的長取最大值時，點的坐標及此時的大小（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）①30°，150°，②（，），315°．

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據正方形的性質以及勾股定理即可解決問題；

（Ⅱ）①因為∠BAG′=90°，BG′=2AB，可知sin∠AG′B==，推出∠AG′B=30°，推出旋轉角α=30°，據對稱性可知，當∠ABG″=60°時，∠BAG″=90°，也滿足條件，此時旋轉角α=150°；

②當α=315°時，A、B、F′在一條直線上時，AF′的長最大．

試題解析：解：（Ⅰ）如圖1中，∵A（0，1），∴OA=1．∵四邊形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=．∵BD=DG，∴BG=，∴==．

（Ⅱ）①如圖2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋轉角α=30°，根據對稱性可知，當∠ABG″=60°時，∠BAG″=90°，也滿足條件，此時旋轉角α=150°．

綜上所述：旋轉角α=30°或150°時，∠BAG′=90°．

②如圖3中，連接OF．∵四邊形BE′F′G′是正方形的邊長為，∴BF′=2，∴當α=315°時，A、B、F′在一條直線上時，AF′的長最大，最大值為+2，此時α=315°，F′（）．