Question

【題目】已知三角形ABC，AD為BC邊中線，P為BC上一動點，過點P作AD的平行線，交直線AB或延長線于點Q，交CA或延長線于點R．

（1）當點P在BD上運動時，過點Q作BC的平行線交AD于E點，交AC于F點，求證：QE＝EF；

（2）當點P在BC上運動時，求證：PQ+PR為定值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據平行線QF∥BC，可以推知△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC；然后根據相似三角形的對應邊成比例可求得；再根據已知條件“AD為BC邊中線”來證明QE=EF；
（2）分類討論：
①當點P與點B（或點C）重合時，AD為△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位線，PQ+PR=2AD；
②當點P在BD上（不與點B重合）運動時，由（1）證明可知，AE為△RQF的中位線，PQ+PR=2AD；
③當點P在CD上（不與點C重合）運動時，PQ+PR=2AD．

（1）證明：∵QF∥BC，

∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．

∴，

∵BD＝DC，

∴QE＝EF．

（2）解：當點P與點B（或點C）重合時，AD為△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位線，

∴PQ+PR＝2AD．

當點P在BD上（不與點B重合）運動時，由（1）證明可知，AE為△RQF的中位線，

∴RQ＝2AE．

∵QF∥BC，PQ∥AD，

∴四邊形PQED為平行四邊形．

∴PQ＝DE，

∴PQ+PR＝2DE+QR＝2DE+2AE＝2AD．

同理可證，當點P在CD上（不與點C重合）運動時，

PQ+PR＝2AD．

∴P在BC上運動時，PQ+PR為定值，

即PQ+PR＝2AD．