Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經過點A（﹣2，0），B（0、﹣4）與x軸交于另一點C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，P是第一象限內拋物線上一點，且S△PBO=S△PBC，求證：AP∥BC；

（3）在拋物線上是否存在點D，直線BD交x軸于點E，使△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣4；（2）證明見解析；（3）點D的坐標為（，）或（，﹣）．

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線的解析式即可

（2）令y=0求拋物線與x軸的交點C的坐標，作△POB和△PBC的高線，根據面積相等可得OE=CF，證明△OEG≌△CFG，則OG=CG=2，根據三角函數列式可得P的坐標，利用待定系數法求一次函數AP和BC的解析式，k相等則兩直線平行；

（3）先利用概率的知識分析A，B，C，E中的三點為頂點的三角形，有兩個三角形與△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，

①當△ABE與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，根據存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐標，利用待定系數法求直線BE的解析式，與拋物線列方程組可得交點D的坐標；

②當△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，同理可得結論．

（1）把點A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣4；

（2）當y=0時，x2﹣x﹣4=0，

解得：x=﹣2或4，

∴C（4，0），

如圖1，過O作OE⊥BP于E，過C作CF⊥BP于F，設PB交x軸于G，

∵S△PBO=S△PBC，

∴PBOE=PBCF，

∴OE=CF，

易得△OEG≌△CFG，

∴OG=CG=2，

設P（x，x2﹣x﹣4），過P作PM⊥y軸于M，

tan∠PBM=，

∴BM=2PM，

∴4+x2﹣x﹣4=2x，

x2﹣6x=0，

x1=0（舍），x2=6，

∴P（6，8），

易得AP的解析式為：y=x+2，

BC的解析式為：y=x﹣4，

∴AP∥BC；

（3）以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四種，其中△ABE重合，不符合條件，△ACE不能構成三角形，

∴當△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似，存在兩個三角形：△ABC和△BC，

①當△ABE與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，

∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，

∴∠ABE=∠ACB=45°，

∴△ABE∽△ACB，

∴，

∴，

∴AE=，

∴E（，0），

∵B（0，﹣4），

易得BE：y=，

則x2﹣x﹣4=x﹣4，

x1=0（舍），x2=，

∴D（，）；

②當△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，

∵∠BEA=∠BEC，

∴當∠ABE=∠BCE時，△ABE∽△BCE，

∴，

設BE=2m，CE=4m，

Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，

∴，

3m2﹣8m+8=0，

（m﹣2）（3m﹣2）=0，

m1=2，m2=，

∴OE=4m﹣4=12或，

∵OE=＜2，∠AEB是鈍角，此時△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，如圖4，

∴E（﹣12，0）；

同理得BE的解析式為：y=﹣x﹣4，

﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，

x=或0（舍）

∴D（，﹣）；

綜上，點D的坐標為（，）或（，﹣）．