Question

如圖，已知AB=AC，∠BAC=120º，在BC上取一點O，以O為圓心OB為半徑作圓，
①且⊙O過A點，過A作AD∥BC交⊙O于D，
求證：（1）AC是⊙O的切線；
（2）四邊形BOAD是菱形。

Answer 1

證明：（1）∵AB=AC，∠BAC=120º，∴∠ABC=∠C=30º。
∵OB=OA，∴∠BAO=∠ABC=30º。∴∠CAO=120º-30º=90º。
∴ OA⊥AC。
∵OA為⊙O的半徑，∴ AC是⊙O的切線。
（2）連接OD，

∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=30º。
∴∠DAO=60º。
∵OA=OD，∴△OAD為等邊三角形。
∴OB=OA=AD，
又∵AD∥BC，∴ADBO為平行四邊形。
且OA=OB，∴四邊形BOAD是菱形。

切線的判定，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，平行線的性質，菱形的判定。
【分析】（1）求證AC是⊙O的切線，則證OA⊥AC，很顯然要運用圓的切線的判定定理。
（2）要證四邊形BOAD是菱形，先證BOAD為平行四邊形，再證一組鄰邊相等。