Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ=x，QR=y．

(1)求點D到BC的距離DH的長；

(2)求y關于x的函數關系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(3)是否存在點P，使△PQR為等腰三角形?若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DH=；（2）；（3）存在，x為或或6

【解析】

（1）根據三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根據相似三角形的性質求出DH的長；

（2）根據△RQC∽△ABC，根據三角形的相似比求出y關于x的函數關系式；

（3）畫出圖形，根據圖形進行討論： PQ＝PR、 PQ＝RQ、 PR＝QR ．

（1）在Rt△ABC中，

∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，

∴BC＝＝10．

∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．

∴△BHD∽△BAC，

∴＝，

∴DH＝AC＝×8＝

（2）∵QR∥AB，

∴∠QRC＝∠A＝90°．

∵∠C＝∠C，

∴△RQC∽△ABC，

∴＝，∴＝，

即y關于x的函數關系式為：y＝x+6．

（3）存在，分三種情況：

①當PQ＝PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM＝RM．

∵∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°，

∴∠1＝∠C．

∴cos∠1＝cosC＝＝，

∴＝，

∴＝，

∴x＝．

②當PQ＝RQ時，

﹣x+6＝，

∴x＝6．

③作EM⊥BC，RN⊥EM，

∴EM∥PQ，

當PR＝QR時，則R為PQ中垂線上的點，

∴EN＝MN，

∴ER＝RC，

∴點R為EC的中點，

∴CR＝CE＝AC＝2．

∵tanC＝＝，

∴＝，

∴x＝．

綜上所述，當x為或6或時，△PQR為等腰三角形．