Question

【題目】已知點E在△ABC內，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．
（1）當α=60°時（如圖1）， ①判斷△ABC的形狀，并說明理由；
②求證：BD= AE；
（2）當α=90°時（如圖2），求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①判斷：△ABC是等邊三角形．

理由：∵∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等邊三角形

②證明：同理△EBD也是等邊三角形

連接DC，

則AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°﹣∠EBC=∠CBD

∴△ABE≌△CBD

∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°

∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣60°=30°

在Rt△EDC中 ，

∴

（2）解：連接DC，

∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°

∴△ABC∽△EBD

∴

又∵∠ABE=90°﹣∠EBC=∠CBD

∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，

∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣（90°﹣∠BDE）=60°

設BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=

在Rt△EDC中CD=

∴ ，即

【解析】①由三角形ABC中有兩個60°而求得它為等邊三角形；②由△EBD也是等邊三角形，連接DC，證得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易證得結論．（2）連接DC，證得△ABC∽△EBD，設BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．