Question

【題目】已知二次函數y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數，a≠0），線段AB的兩個端點坐標分別為A(﹣1，2)，B(2，2)．

（1）該二次函數的圖象的對稱軸是直線　 　；

（2）當a＝﹣1時，若點B(2，2)恰好在此函數圖象上，求此二次函數的關系式；

（3）當a＝﹣1時，當此二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點時，求k的取值范圍；

（4）若k＝a+3，過點A作x軸的垂線交x軸于點P，過點B作x軸的垂線交x軸于點Q，當﹣1＜x＜2，此二次函數圖象與四邊形APQB的邊交點個數是大于0的偶數時，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝1；（2）y＝﹣x2+2x+2；（3）2＜k≤5或k＝1；（4）2≤k＜或k＜0

【解析】

（1）根據二次函數y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數，a≠0）即可求此二次函數的對稱軸；

（2）當a＝﹣1時，把B（2，2）代入即可求此二次函數的關系式；

（3）當a＝﹣1時，根據二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點，分三種情況說明：當拋物線頂點落在AB上時，k+1＝2，k＝1；當拋物線經過點B時，k＝2；當拋物線經過點A時，k＝5，即可求此k的取值范圍；

（4）當k＝a+3，根據題意畫出圖形，觀察圖形即可求此k的取值范圍．

解：（1）二次函數y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數，a≠0），

二次函數的圖象的對稱軸是直線x＝1．

故答案為x＝1；

（2）當a＝﹣1時，y＝﹣x2+2x+k

把B（2，2）代入，得 k＝2，

∴y＝﹣x2+2x+2

（3）當a＝﹣1時，

y＝﹣x2+2x+k

＝﹣（x﹣1）2+k+1

∵此二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點，

當拋物線頂點落在AB上時，k+1＝2，k＝1

當拋物線經過點B時，k＝2

當拋物線經過點A時，

﹣1﹣2+k＝2，k＝5

綜上所述：2＜k≤5或k＝1；

（4）當k＝a+3時，

y＝ax2﹣2ax+a+3

＝a（x﹣1）2+3

所以頂點坐標為（1，3）

∴a+3＜3

∴a＜0．

如圖，

過點A作x軸的垂線交x軸于點P，過點B作x軸的垂線交x軸于點Q，

∴P（﹣1，0），Q（2，0）

當﹣1＜x＜2，此二次函數圖象與四邊形APQB的邊交點個數是大于0的偶數，

當拋物線過點P時，

a+2a+a+3＝0，解得a＝﹣

∴k＝a+3＝，

當拋物線經過點B時，

4a﹣4a+a+3＝2，解得a＝﹣1，

∴k＝2，

當拋物線經過點Q時，

4a﹣4a+a+3＝0，解得a＝﹣3，

∴k＝0

綜上所述：2≤k＜或k＜0．