Question

如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”．
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P經(jīng)過的路程為s．
①當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過程中，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”．請(qǐng)直接寫出tanβ的取值范圍．
（4）依據(jù)（3）的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析   （3）①   ②＜tanβ＜2
（4）在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)0＜tanβ＜時(shí)，使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2．

解：（1）如圖1，

①作一條線段AB，
②作線段AB的中點(diǎn)O，
③以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，
④在圓O上取一點(diǎn)C（點(diǎn)E、F除外），連接AC、BC．
∴△ABC是所求作的三角形．
（2）如圖2，

取AC的中點(diǎn)D，連接BD．
∵∠C=90°，tanA= ，
∴
∴設(shè)BC= x，則AC=2x，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴CD= AC=x
∴BD= = =2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；
（3）①當(dāng)β=45°，點(diǎn)P在AB上時(shí)，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
如圖3，當(dāng)P在BC上時(shí)，連接AC交PQ于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=2β=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠CAB=∠ACP，
∵PC=CQ，∠ACB=∠ACD，
∴∠AEF=∠CEP=90°，
∴△AEF∽△CEP，且△AEF、△CEP和△BFP都是等腰直角三角形，
∴．
∵PE=CE，
∴．
（Ⅰ）當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí)，即AE=PQ時(shí)，
，
∴，
（Ⅱ）當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時(shí)，
作QN⊥AP于N，如圖4

∵AP=QM=AQ
∴MN="AN=" MP．
∴QN= MN，
∴tan∠APQ= ，
∴tan∠APE= ，
∴=
②由①可知，當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí)，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”，
∴＜tanβ＜2時(shí)，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”．
（4）由（3）可以知道：在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)0＜tanβ＜時(shí)，使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2．
（1）先畫一條線段AB，再確定AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑畫圓，在圓O上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，則△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中點(diǎn)D，連接BD，設(shè)BC= x，根據(jù)條件可以求出AC=2x，由三角函數(shù)可以求出BD=2x，從而得出AC=BD，從而得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)β=45°時(shí)，分情況討論，P點(diǎn)在AB上時(shí)，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當(dāng)P在BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可以求出，再分情況討論，當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí)，求出的值；
②根據(jù)①求出的兩個(gè)的值可以求出tanβ的取值范圍；
（4）由（3）可以得出“在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)0＜tanβ＜時(shí)，使得△APQ成為‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)為2”是真命題．