Question

【題目】已知常數(shù)p＞0，數(shù)列{an}滿足an+1=|p﹣an|+2an+p，n∈N*．
（1）若a1=﹣1，p=1， ①求a4的值；
②求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；
（2）若數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)ar ， as ， at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差數(shù)列，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵an+1=|p﹣an|+2an+p，

∴a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1，

a3=|1﹣a2|+2a2+1=0+2+1=3，

a4=|1﹣a3|+2a3+1=2+6+1=9，

②∵a2=1，an+1=|1﹣an|+2an+1，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an≥1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=﹣1+an+2an+1=3an，即從第二項(xiàng)起，數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，

∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+a4+…+an=﹣1+ = ﹣ ，（n≥2），

顯然當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，

∴Sn= ﹣

（2）解：∵an+1﹣an=|p﹣an|+an+p≥p﹣an+an+p=2p＞0，

∴an+1＞an，即{an}單調(diào)遞增．

（i）當(dāng) ≥1時(shí)，有a1≥p，于是an≥a1≥p，

∴an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an，∴ ．

若數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差數(shù)列，則有2as=ar+at，

即2×3s﹣1=3r﹣1+3t﹣1．（*）

∵s≤t﹣1，∴2×3s﹣1= ＜3t﹣1＜3r﹣1+3t﹣1．因此（*）不成立．因此此時(shí)數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差數(shù)列．

（ii）當(dāng) 時(shí)，有﹣p＜a1＜p．此時(shí)a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p＞p．

于是當(dāng)n≥2時(shí)，an≥a2＞p．從而an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an．∴an=3n﹣2a2=3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．

若數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差數(shù)列，則有2as=ar+at，

同（i）可知：r=1．于是有2×3s﹣2（a1+2p）=a1+3t﹣2（a1+2p），∵2≤S≤t﹣1，∴ =2×3s﹣2﹣3t﹣2= ﹣ ＜0．∵2×3s﹣2﹣3t﹣2是整數(shù)，∴ ≤﹣1．于是a1≤﹣a1﹣2p，即a1≤﹣p．與﹣p＜a1＜p矛盾．

故此時(shí)數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差數(shù)列．

（iii）當(dāng) ≤﹣1時(shí)，有a1≤﹣p＜p．a(chǎn)1+p≤0．

于是a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p．

a3=|p﹣a2|+2a2+p=|a1+p|+2a1+5p．=﹣a1﹣p+2a1+5p=a1+4p．

此時(shí)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)a1，a2，a3依次成等差數(shù)列．

綜上可得： ≤﹣1

【解析】（1）①an+1=|p﹣an|+2an+p，可得a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1，同理可得a3=3，a4=9．②a2=1，an+1=|1﹣an|+2an+1，當(dāng)n≥2時(shí)，an≥1，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=﹣1+an+2an+1=3an ， 即從第二項(xiàng)起，數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出Sn ． （2）an+1﹣an=|p﹣an|+an+p≥p﹣an+an+p=2p＞0，可得an+1＞an ， 即{an}單調(diào)遞增．（i）當(dāng) ≥1時(shí)，有a1≥p，于是an≥a1≥p，可得an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an ， ．利用反證法即可得出不存在．（ii）當(dāng) 時(shí)，有﹣p＜a1＜p．此時(shí)a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p＞p．于是當(dāng)n≥2時(shí)，an≥a2＞p．從而an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an ． an=3n﹣2a2=3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．假設(shè)存在2as=ar+at ， 同（i）可知：r=1．得出矛盾，因此不存在．（iii）當(dāng) ≤﹣1時(shí)，有a1≤﹣p＜p．a(chǎn)1+p≤0．于是a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p．a(chǎn)3=a1+4p．即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．