Question

【題目】如圖1，在△ABC中，設∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，過點A作AD⊥BC，垂足為D，會有sin∠C= ，則
S△ABC= BC×AD= ×BC×ACsin∠C= absin∠C，
即S△ABC= absin∠C
同理S△ABC= bcsin∠A
S△ABC= acsin∠B
通過推理還可以得到另一個表達三角形邊角關系的定理﹣余弦定理：
如圖2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，則
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C

用上面的三角形面積公式和余弦定理解決問題：
（1）如圖3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的對邊分別是3和8．求S△DEF和DE2 ．

解：S△DEF= EF×DFsin∠F=；
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= ．
（2）如圖4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分別是以AB、BC、AC為邊長的等邊三角形，設△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面積分別為S1、S2、S3、S4 ， 求證：S1+S2=S3+S4 ．

Answer 1

【答案】
（1）6 ；49
（2）

證明：方法1，∵∠ACB=60°，

∴AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos60°=AC2+BC2﹣ACBC，

兩邊同時乘以 sin60°得， AB2sin60°= AC2sin60°+ BC2sin60°﹣ ACBCsin60°，

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等邊三角形，

∴S1= ACBCsin60°，S2= AB2sin60°，S3= BC2sin60°，S4= AC2sin60°，

∴S2=S4+S3﹣S1，

∴S1+S2=S3+S4，

方法2、令∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，

∴S1= absin∠C= absin60°= ab

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等邊三角形，

∴S2= ccsin60°= c2，S3= aasin60°= a2，S4= bbsin60°= b2，

∴S1+S2= （ab+c2），S3+S4= （a2+b2），

∵c2=a2+b2﹣2abcos∠C=a2+b2﹣2abcos60°，

∴a2+b=c2+ab，

∴S1+S2=S3+S4

【解析】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的對邊分別是3和8，
∴EF=3，DF=8，
∴S△DEF= EF×DFsin∠F= ×3×8×sin60°=6 ，
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，
所以答案是：6 ，49；
【考點精析】掌握同角三角函數的關系（倒數、平方和商）是解答本題的根本，需要知道各銳角三角函數之間的關系：平方關系（sin2A+cos2A=1）；倒數關系（tanAtan(90°—A)=1）；弦切關系（tanA=sinA/cosA ）．