Question

【題目】如圖，Rt△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點P在射線AC上運動，過點P作PH⊥AB，垂足為H．

（1）直接寫出線段AC、AD及⊙O半徑的長；
（2）設PH=x，PC=y，求y關于x的函數關系式；
（3）當PH與⊙O相切時，求相應的y值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：AC=4，AD=3，⊙O的半徑長為1．

（如圖1，連接AO、DO．

設⊙O的半徑為r．

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= =4，

則⊙O的半徑r= （AC+BC﹣AB）= ×（4+3﹣5）=1；

∵CE、CF是⊙O的切線，∠ACB=90°，

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，OF=OE，

∴四邊形CEOF是正方形，

∴CF=OF=1；

又∵AD、AF是⊙O的切線，

∴AF=AD；

∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，即AD=3）；

（2）

解：①如圖1，若點P在線段AC上時．

在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，

∵∠C=90°，PH⊥AB，

∴∠C=∠PHA=90°，

∵∠A=∠A，

∴△AHP∽△ACB，

∴ ，

即 ，

∴y=﹣ x+4，即y與x的函數關系式是y=﹣ x+4（0≤x≤2.4）；

②同理，當點P在線段AC的延長線上時，△AHP∽△ACB，

則 ，

即 ，

∴y= x﹣4，即y與x的函數關系式是y= x﹣4（x＞2.4）；

（3）

解：①當點P在線段AC上時，如圖2，P′H′與⊙O相切于點M．

∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，

∴四邊形OMH′D是正方形，

∴MH′=OM=1；

由（1）知，四邊形CFOE是正方形，

CF=OF=1，

∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；

又由（2）知，y=﹣ x+4，

∴y=﹣ y+4，

解得y= ．

②當點P在AC的延長線上時，如圖，P″H″與⊙O相切．此時y=1．

【解析】（1）由勾股定理求AC的長度；設⊙O的半徑為r，則r= （AC+BC﹣AB）；根據圓的切線定理、正方形的判定定理知四邊形CEOF是正方形；然后由正方形的性質證得CF=OF=1，則由圖中線段間的和差關系即可求得AD的長度；（2）分類討論：①當點P在線段AC上時，通過相似三角形△AHP∽△ACB的對應邊成比例知， ，將“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y關于x的函數關系式；②當點P在線段AC的延長線上時，同理，利用相似三角形的性質求得y關于x的函數關系式；（3）根據圓的切線定理證得四邊形OMH′D、四邊形CFOE為正方形；然后利用正方形的性質、圓的切線定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；最后將其代入（2）中的函數關系式即可求得y值．