Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BD⊥PC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BC．求證：

（1）∠PBC=∠CBD；
（2）BC2=ABBD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵PC與圓O相切，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵BD⊥PD，

∴∠BDP=90°，

∴∠OCP=∠PDB，

∴OC∥BD，

∴∠BCO=∠CBD，

∵OB=OC，

∴∠PBC=∠BCO，

∴∠PBC=∠CBD；

（2）證明：連接AC，

∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∵∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴

則BC2=ABBD．

【解析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及切線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）連接OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一對(duì)直角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OC與BD平行，進(jìn)而得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由OB=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用圓周角定理得到∠ACB為直角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形CBD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，變形即可得證．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．