Question

【題目】“8字”的性質及應用：

（1）如圖1，AD、BC相交于點O，得到一個“8字”ABCD，求證：∠A+∠B＝∠C+∠D．

（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，利用（1）中的結論證明：∠E＝（∠A+∠C）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據三角形的內角和定理和對頂角相等即可證∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）根據角平分線的定義可得：∠ABE=∠EBC，∠CDE=∠EDA，再根據（1）中結論列出兩個等式，將兩個等式相加即可證出∠E＝（∠A+∠C）．

證明：（1）∵∠A+∠B=180°－∠AOB，∠C+∠D=180°－∠COD，∠AOB=∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）∵∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，

∴∠ABE=∠EBC，∠CDE=∠EDA，

由（1）的結論可知：∠A＋∠ABE=∠E＋∠EDA①，∠C＋∠CDE=∠E＋∠EBC②，

①＋②得：∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE=∠E＋∠EDA＋∠E＋∠EBC，

∴∠A＋∠C=2∠E，

∴∠E＝（∠A+∠C）.