Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點坐標是（2，1），并且經過點（4，2），直線y= x+1與拋物線交于B，D兩點，以BD為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側的點M（t，1），直線m上每一點的縱坐標都等于1．

（1）求拋物線的解析式；
（2）證明：圓C與x軸相切；
（3）過點B作BE⊥m，垂足為E，再過點D作DF⊥m，垂足為F，求BE：MF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點坐標是（2，1），

∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+1，

∵拋物線經過點（4，2），

∴2=a（4﹣2）2+1，解得a= ，

∴拋物線解析式為y= （x﹣2）2+1= x2﹣x+2；

（2）

解：聯立直線和拋物線解析式可得 ，解得 或 ，

∴B（3﹣ ， ﹣ ），D（3+ ， + ），

∵C為BD的中點，

∴點C的縱坐標為 = ，

∵BD= =5，

∴圓的半徑為 ，

∴點C到x軸的距離等于圓的半徑，

∴圓C與x軸相切；

（3）

解：如圖，過點C作CH⊥m，垂足為H，連接CM，

由（2）可知CM= ，CH= ﹣1= ，

在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，

∵HF= = ，

∴MF=HF﹣MH= ﹣2，

∵BE= ﹣ ﹣1= ﹣ ，

∴ = = ．

【解析】（1）可設拋物線的頂點式，再結合拋物線過點（4，2），可求得拋物線的解析式；（2）聯立直線和拋物線解析式可求得B、D兩點的坐標，則可求得C點坐標和線段BD的長，可求得圓的半徑，可證得結論；（3）過點C作CH⊥m于點H，連接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐標可求得FH，則可求得MF和BE的長，可求得其比值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．