Question

邊長為1的正三角形ABC的中心O，以O(shè)為圓心，在正三角形內(nèi)畫一個圓，（⊙O），再作⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃，分別與正三角形的兩邊及⊙O都相切，試求，這四個面積總和的最大值與最小值，并指出面積總和取最值時對應(yīng)的⊙O的半徑．

Answer 1

設(shè)圓O的半徑為x，已知圓O₁，圓O₂，圓O₃的半徑相等，設(shè)其為z，由AO₁=2z，AO=

3

3

，
得：3z+x=

3

3

，
∴z=

3

9

-

x

3

，
設(shè)四個圓面積之和為y，則y=πx²+3π(

3

9

-

x

3

)2=

4π

3

(x-

3

12

)2+

π

12

，
不難得到x的取值范圍為

3

3

-3

3 -1

4

≤x≤

3

6

，
∴x=

3

12

時，y_min=

π

12

，x=

3

6

時，y_max=

π

9

，
故當(dāng)圓O的半徑為

3

12

時，四圓面積和取最小值

π

12

；
當(dāng)圓O的半徑為

3

6

時，四圓面積和取最大值

π

9

．