Question

【題目】【感知】如圖①，△ABC是等邊三角形，CM是外角∠ACD的平分線，E是邊BC中點，在CM上截取CF=BE，連接AE、EF、AF.易證：△AEF是等邊三角形（不需要證明）.

【探究】如圖②，△ABC是等邊三角形，CM是外角∠ACD的平分線，E是邊BC上一點（不與點B、C重合），在CM上截取CF=BE，連接AE、EF、AF.求證：△AEF是等邊三角形.

【應用】將圖②中的“E是邊BC上一點”改為“E是邊BC延長線上一點”，其他條件不變.當四邊形ACEF是軸對稱圖形，且AB=2時，請借助備用圖，直接寫出四邊形ACEF的周長.

Answer 1

【答案】【探究】見解析；【應用】

【解析】試題分析：【探究】根據等邊三角形的性質和角平分線的性質證明△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再證明∠EAF=60°，即可得到結論；

【應用】先證明△AEF為等邊三角形，得到不可能以AE所在的直線為對稱軸，只能以CF為對稱軸，從而得到∠BAE=90°，以及AE的值，即可得到結論

試題解析：解：【探究】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACD=120°．∵CM是外角∠ACD的平分線，∴，∴∠B=∠ACF=60°．∵CF=BE，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF．∵∠BAC=60°，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF +∠EAC，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形．

【應用】由題意得：△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∴∠FAE=∠BAC=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AE=AF=EF，∴不可能以AE所在的直線為對稱軸，即以CF為對稱軸．∵AB=2，∴AC=CE=2，∴AC=BC=CE，∴∠BAE=90°，∴AE=，∴四邊形ACEF的周長為： =．