Question

13．如圖①，已知二次函數y=-x²+2x+3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．
（1）求△ABC的面積．
（2）點M在OB邊上以每秒1個單位的速度從點O向點B運動，點N在BC邊上以每秒$\sqrt{2}$個單位得速度從點B向點C運動，兩個點同時開始運動，同時停止．設運動的時間為t秒，試求當t為何值時，以B、M、N為頂點的三角形與△BOC相似？
（3）如圖②，點P為拋物線上的動點，點Q為對稱軸上的動點，是否存在點P、Q，使得以P、Q、C、B為頂點的四邊形是平行四變形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B、C的坐標，根據三角形的面積公式，可得答案；
（2）根據兩角相等的兩個三角形相似，可得△BMN與△BOC的關系，根據相似三角形的性質，可得關于t的方程，根據解方程，可得答案；
（3）根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得①BQ=PC或②BC=PQ；根據BQ∥PC，BQ=PC，可得P點坐標；根據PQ=BC，可得關于a的方程，根據解方程，可得a的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標．

解答 解：（1）當x=0時，y=3，即C（0，3），
當y=0時，-x²+2x+3=0，解得x=-1，x=3，即A（-1，0），B（3，0）；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×[3-（-1）]×3=6；
（2）若∠BMN=90°，如圖1：，
BM=（3-t），BN=$\sqrt{2}$t，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
△BMN∽△BOC，
$\frac{BM}{BO}$=$\frac{BN}{BC}$，即$\frac{3-t}{3}$=$\frac{\sqrt{2}t}{3\sqrt{2}}$．

$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$（3-t），解得t=$\frac{3}{2}$；
若∠BNM=90°時，如圖2：，
BM=（3-t），BN=$\sqrt{2}$t，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
△BMN∽△BCO，
$\frac{BN}{OB}$=$\frac{BM}{BC}$，即$\frac{\sqrt{2}t}{3}$=$\frac{3-t}{3\sqrt{2}}$，
3-t=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$t，解得t=1；
綜上所述：t=1或t=$\frac{3}{2}$；
（3）如圖3：，
若CB為對角線，即CP∥QB，CP₁=Q₁B=3-1=2，y${\;}_{{P}_{1}}$=y_C=3，
P₁（2，3）；
CB為邊，即CB∥PQ，CB=PQ，
設P（a，b），D（1，b），Q（1，a+b-1）．
PQ=CB，即（a-1）²+（1-a）²=18，
化簡，得
a²-2a-8=0．
解得a=-2或a=4．
當a=-2時，b=-（-2）²+2×（-2）+3=-5，
即P₂（-2，-5）；
當a=4時，b=-4²+2×4+3=-5，
即P₃（4，-5）；
綜上所述：P₁（2，3），P₂（-2，-5），P₃（4，-5）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，（1）利用自變量與函數值的對應關系得出A、B、C的坐標是解題關鍵；（2）利用相似三角形的性質得出關于t的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏；（3）利用平行四邊形的對邊相等得出關于a的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．