Question

3．如圖，P是⊙O外一點，PC為切線，割線PAB經過圓心O．
（1）若PB=12，PC=4$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑長；
（2）作∠BPC的角平分線交BC于D，求∠CDP的度數．

Answer 1

分析 （1）連結OC，如圖，設⊙O的半徑為r，則OC=r，PO=PB-OB=12-r，根據切線的性質得∠PCO=90°，則利用勾股定理得到r²+（4$\sqrt{3}$）²=（12-r）²，然后解方程即可；
（2）在Rt△POC中，由于OC=4，OP=8，根據含30度的直角三角形三邊的關系得∠OPC=30°，然后根據角平分線定義得到∠CDP的度數．

解答 解：（1）連結OC，如圖，設⊙O的半徑為r，則OC=r，PO=PB-OB=12-r，
∵PC為切線，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
在Rt△POC中，∵OC²+PC²=PO²，
∴r²+（4$\sqrt{3}$）²=（12-r）²，解得r=4，
即⊙O的半徑為4；
（2）在Rt△POC中，∵OC=4，PO=8，
∴∠OPC=30°，
∵PD平分∠BPC，
∴∠CDP=15°．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．