Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是線段CB上的異于B、C的動點，AF⊥AE交線段CD的延長線于點F，EF與AD交于點M．

（1）求證：△ABE∽△ADF；
（2）若AE⊥BD，求BE長；
（3）若△AEM是以AE為腰的等腰三角形，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°，AD∥BC，

∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，

∴∠BAD=∠EAF，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠ABE=∠ADF=90°，

∴△ABE∽△ADF

（2）

解：∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE，

∵AE⊥BD，

∴∠BAE+∠ABD=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠ABD=∠AEB，

∴∠AEB=∠ABD，

又∵∠ABE=∠BAD=90°，

∴△ABE∽△DAB，

∴ ，即 ，

解得：BE=

（3）

解：分兩種情況：

①當AE=AM時，∠AEF=∠AME，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∵AD∥BC，

∴∠AME=∠CEF，

∴∠AEF=∠CEF，

在△AEF和△CEF中， ，

∴△AEF≌△CEF（AAS），

∴AE=CE，

設BE=x，則AE=CE=4﹣x，Rt△ABE中，

由勾股定理得：x2+32=（4﹣x）2，解得：x= ；

②當AE=EM時，過點E作EN⊥AD于點N，如圖所示：

則AN=MN=BE=x，EN∥DF，

由（1）得：△ABE∽△ADF，

∴ ，即 ，

解得：DF= x，

∵EN∥DF，

∴∴△EMN∽△FMD，

∴ ，即 ，

解得：x= 或x=﹣6（舍去），

∴BE= ；

綜上所述，若△AEM是以AE為腰的等腰三角形，BE長為 或 ．

【解析】（1）由矩形的性質得出∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°，AD∥BC，證出∠BAE=∠DAF，即可得出結論；（2）證明△ABE∽△DAB，得出對應邊成比例，即可得出答案；（3）①當AE=AM時，證明△AEF≌△CEF（AAS），得出AE=CE，設BE=x，則AE=CE=4﹣x，Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當AE=EM時，過點E作EN⊥AD于點N，則AN=MN=BE=x，EN∥DF，由（1）得：△ABE∽△ADF，得出對應邊成比例求出DF= x，由平行線證明△EMN∽△FMD，得出對應邊成比例，得出方程，解方程即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的應用(測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解)．