【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC為弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足為D．
(1) 求證：CD是⊙O的切線；
(2) 若⊙O的直徑為4，AD=3，試求∠BAC的度數．
【答案】（1）證明見解析；（2）30°.
【解析】
(1)連接OC,證先利用角平分線的定義和等腰三角形的性質證明∠OCA=∠DAC，從而OC∥AD，由平行線的性質可得OC⊥CD，從而得出CD是⊙O切線；
(2)連接BC,證明△ACB∽△ADC,求出AC的長度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度數.
解：(1) 連結OC.
∵
平分
，∴∠BAC=∠DAC.
又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD.
∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切線.
(2) 連結BC. ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°.
又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, 
, , ∴AC=
.
在Rt△ACB中, cos∠BAC=
, ∴∠BAC=30°.
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【題目】一個不透明的布袋中有完全相同的三個小球，把它們分別標號為1，2，3. 小林和小華做一個游戲，按照以下方式抽取小球：先從布袋中隨機抽取一個小球，記下標號后放回布袋中攪勻，再從布袋中隨機抽取一個小球， 記下標號. 若兩次抽取的小球標號之和為奇數，小林贏；若標號之和為偶數，則小華贏.
（1）用畫樹狀圖或列表的方法，列出前后兩次取出小球上所標數字的所有可能情況；
（2）請判斷這個游戲是否公平，并說明理由.
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【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA＝2，OC＝6，連接AC和BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，求點D的坐標；
（3）點E是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時點E的坐標；
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【題目】已知
是
的外接圓，
是的直徑，過
的中點
作的直徑
交弦
于點
，連接
、
、
.
（1）如圖1，若點是線段
的中點，求
的度數；
（2）如圖2，在
上取一點
，使
，求證：
；
（3）如圖3，取的中點
，連接
并延長交于點
，連接
和交于點
，若
，且
，求的長.
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【題目】已知下列命題:
①若
，則
；
②當
時，若
，則
；
③直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半；
④矩形的兩條對角線相等.
其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（ ）
A.
個B.
個C.
個D.
個
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【題目】某工廠擬建一個如圖所示的矩形倉庫ABCD，倉庫的一邊是長為12m的一面墻，另外三邊用30m長的建筑材料圍成．設AB的長為xm，矩形ABCI的面積為Sm2．
(1)用含x的代數式表示BC的長，并求出x的取值范圍．
(2)寫出S關于x的函數關系式，并求出S的最大值．
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【題目】如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處．
（1）若燈塔P周圍50海里范圍內有暗礁，海輪從A處到B處的途中，是否有觸礁危險？
（2）若海輪以每小時30海里的速度從A處到B處，試判斷海輪能否在5小時內到達B處，并說明理由．（參考數據：
≈1.41，
≈1.73，
≈2.45）
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【題目】如圖所示，線段
是⊙
的直徑，過
點作直線
交⊙于、
兩點，過點作
的角平分線交⊙于
，過作
的垂線交于
（1）證明
是⊙的切線
（2）證明
（3）若⊙的直徑為10，
，求
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【題目】如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點D在邊BC上，且CD＝3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A′恰好落在邊OC上，則OE的長為（ ）
A.
B.
C.
D.1
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