Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx－2與x軸交于點A(－3,0)、B(1,0)，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數表達式．

（2）在拋物線上是否存在點D，使得△ABD的面積等于△ABC的面積的倍？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）若點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點，點F是AE的中點，請直接寫出線段OF的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見解析；D(－4, )或（2，）；（3）最大值； 最小值

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入函數解析式計算即可得到；

（2）點D應在x軸的上方或下方，在下方時通過計算得△ABD的面積是△ABC面積的倍，判斷點D應在x軸的上方，設設D(m,n)，根據面積關系求出m、n的值即可得到點D的坐標；

（3）設E(x,y)，由點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點,用兩點間的距離公式得到點E的坐標為E,再根據點F是AE中點表示出點F的坐標，再設設F(m,n),再利用m、n、與x的關系得到n=，通過計算整理得出，由此得出F點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，再計算最大值與最小值即可.

解：（1）將點A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得

，解得，

∴

（2）若D在x軸的下方，當D為拋物線頂點（－1，）時，，

△ABD的面積是△ABC面積的倍，

，所以D點一定在x軸上方．

設D(m,n), △ABD的面積是△ABC面積的倍，

n＝

＝m＝－4或m＝2

D(－4, )或（2，）

（3）設E(x,y),

∵點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點，

∴,

∴y=,

∴E,

∵F是AE的中點,

∴F的坐標,

設F(m,n),

∴m=,n=,

∴x=2m+3,

∴n=,

∴2n+2=,

∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,

∴4(n+1)2+4()2=1,

∴,

∴F點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，

∴最大值：，

最小值：

最大值； 最小值