Question

【題目】是⊙O直徑，在的異側分別有定點和動點，如圖所示，點在半圓弧 上運動（不與、重合），過作的垂線，交的延長線于，已知，∶＝∶．

（1）求證：·＝·；

（2）當點運動到弧的中點時，求的長；

（3）當點運動到什么位置時，的面積最大？請直接寫出這個最大面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）CD=；（3）當PC為⊙O直徑時，△PCD的最大面積=.

【解析】

（1）由圓周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可證△ABC∽△PCD，可得,即可得證。

（2）由題意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE的長，由銳角三角函數可求PE的長，即可得PC的長，由ACCD=PCBC可求CD的值；

（3）當點P在上運動時，，由（1）可得：，可得，當PC最大時，△PCD的面積最大，而PC為直徑時最大，故可求解．

證明：（1）

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°

∵PC⊥CD，

∴∠PCD=90°

∴∠PCD=∠ACB，且∠CAB=∠CPB

∴△ABC∽△PCD

∴

∴ACCD=PCBC

（2）∵AB=5，BC：CA=4：3，∠ACB=90°

∴BC=4，AC=3，

當點P運動到的中點時，過點B作BE⊥PC于點E

∵點P是的中點，

∴∠PCB=45°，且BC=4

∴CE=BE=BC=2

∵∠CAB=∠CPB

∴tan∠CAB==tan∠CAB=

∴PE=

∴PC=PE+CE=+2=

∵ACCD=PCBC

∴3×CD=×4

∴CD=

（3）當點P在上運動時，S△PCD=×PC×CD，

由（1）可得：CD=PC

∴S△PCD==PC2，

∴當PC最大時，△PCD的面積最大，

∴當PC為⊙O直徑時，△PCD的最大面積=×52=