Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點F為AC中點，⊙O經過點B，F，且與AC交于點D，與AB交于點E，與BC交于點G，連結BF，DE，弧EFG的長度為（1+）π．

（1）求⊙O的半徑；

（2）若DE∥BF，且AE=a，DF=2+﹣a，請判斷圓心O和直線BF的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）r=1+；（2）圓心O在直線BF上．理由見解析.

【解析】

（1）設⊙O的半徑為r，再根據弧長公式即可得出結論；

（2）先根據DE∥BF得出∠ADE=∠AFB，再根據圓內接四邊形的性質得出∠AFB+∠DEB=180°，進而得出AF的長．在Rt△ABC中，根據直角三角形的性質求出BF的長，再由B、F都在⊙O上即可得出結論．

（1）設⊙O的半徑為r，

∵∠ABC=90°

∴弧EFG所對的圓心角的度數為180°，

∴=（1+）π，即r=1+；

（2）答：圓心O在直線BF上．

理由如下：

∵DE∥BF，

∴∠ADE=∠AFB．

∵四邊形DEBF是⊙O的內接四邊形，

∴∠AFB+∠DEB=180°．

∵∠AED+∠DEB=180°，

∴∠AFB=∠AED，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE=a．

∵DF=2+﹣a，

∴AF=AD+DF=2+．

在Rt△ABC中，∠ABC=90°且F為AC中點，

∴BF=AF=2+．

∵r=1+，

∴BF=2r．

∵B、F都在⊙O上，

∴BF為⊙O直徑，

∴點O在直線BF上．