Question

【題目】[問(wèn)題情境]

已知矩形的面積為一定值1，當(dāng)該矩形的一組鄰邊分別為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最小？最小值是多少？

[數(shù)學(xué)模型]

設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為L，則L與x的函數(shù)表達(dá)式為　　　　．

[探索研究]

小彬借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)的圖象性質(zhì)．

（1）結(jié)合問(wèn)題情境，函數(shù)的自變量x的取值范圍是　　　　，

如表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．

x	…				1	2	3	m	…
y	…	4	3	2	2	2	3	4	…

①直接寫(xiě)出m的值；

②畫(huà)出該函數(shù)圖象，結(jié)合圖象，得出當(dāng)x=　　　　時(shí)，y有最小值，y的最小值為　　　　．

[解決問(wèn)題]

（2）直接寫(xiě)出“問(wèn)題情境”中問(wèn)題的結(jié)論．

Answer 1

【答案】[數(shù)學(xué)模型]L=2(x)；[探索研究]（1）x＞0；①m的值為4；②1，2；（2）當(dāng)鄰邊分別為1和1時(shí)，它的周長(zhǎng)最小，最小值是4．

【解析】

[數(shù)學(xué)模型]求出另一邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論；

[探索研究]（1）根據(jù)邊長(zhǎng)大于0可得自變量x的取值范圍；

①求出y=4時(shí)x的值即可；

②根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫(huà)出函數(shù)的圖象，再結(jié)合表中的數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象得到y的最小值；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論就可以求出周長(zhǎng)的最小值．

[數(shù)學(xué)模型]∵矩形的面積為1，一邊長(zhǎng)為x，

∴另一邊長(zhǎng)為：，

∴L與x的函數(shù)表達(dá)式為：L=2(x)；

[探索研究]（1）自變量x的取值范圍是x＞0；

①當(dāng)y=4時(shí)，即，

解得：x=4或，

∴m的值為4；

②函數(shù)圖象如圖：

由圖象得：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y隨x增大而減小；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大；

∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=x(x＞0)的最小值為2．

（2）當(dāng)鄰邊分別為1和1時(shí)，它的周長(zhǎng)最小，最小值是4．