Question

【題目】已知：如圖，已知直線 AB 的函數(shù)解析式為 y 2x 8 ，與 x 軸交于點 A ，與 y軸交于點 B 。

（1）求 A 、 B 兩點的坐標(biāo)；

（2）若點 P m, n為線段 AB 上的一個動點（與 A 、B 不重合），作 PE x 軸于 E ， PF y軸于點 F ，連接 EF ，問：

①若PEF 的面積為 S ，求 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng) S 3時 P 點的坐標(biāo)；

②是否存在點 P ，使 EF 的值最小？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，8）；（2）①；②存在；EF的最小值=OP=.

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的特點直接求值，

（2）①由點在直線AB上，找出m與n的關(guān)系，再用三角形的面積公式求解即可；

②存在，首先證明四邊形OEPF是矩形，可得EF=OP，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)OP⊥AB時，此時EF最小；

解：（1）令x=0，則y=8，

∴B（0，8），

令y=0，則-2x+8=0，

∴x=4，

∴A（4，0），

（2）①∵點P（m，n）為線段AB上的一個動點，

∴-2m+8=n，

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴0＜m＜4

∵PF=m，PE=-2m+8

∴=PF×PE=×m×（-2m+8）=，（0＜m＜4）；

②存在，如圖

理由：∵PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F，OA⊥OB，

∴四邊形OEPF是矩形，

∴EF=OP，

當(dāng)OP⊥AB時，此時EF最小，

∵A（4，0），B（0，8），

∴AB=

∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OP，

，

∴EF的最小值=OP=.