Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A(a，0)、B(0，b)、C(﹣a，0)，且+b2﹣4b+4＝0

(1)求證：∠ABC＝90°；

(2)作∠ABO的平分線交x軸于一點D，求D點的坐標；

(3)如圖2所示，A、B兩點在x軸、y軸上的位置不變，在線段AB上有兩動點M、N，滿足∠MON＝45°，下列結論：①BM+AN＝MN；②BM2+AN2＝MN2，其中有且只有一個結論成立．請你判斷哪一個結論成立，并證明成立的結論．

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析；(2)D(，0)；(3) ②是對的（基本結論），證明見解析.

【解析】

試題（1）由 可得a=2，b=2，即可得A、B、C的坐標，即可判定∠ABC＝90°；(2) 過D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分線，根據角平分線的性質知DO=DE，設OD＝x，根據S△AOB的兩種求法列出方程，由此求出OD的長，從而得到D點的坐標．（3）此題要通過構造全等三角形來求解；作OE⊥OM，且使得OE=OM，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可證得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通過證△MON≌△EON，來得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根據勾股定理即可證得（2）的結論是正確的．

試題解析：

證明：∵

∴a=2，b=2，

∴A(2，0)、B(0，2)、C(－2，0)，

∴△AOB和△COD是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝90°

(2) 過點D作DE⊥AB于E

∵BD平分∠ABO

∴OD＝DE

設OD＝x

∵S△AOB＝×2×2＝×2×x＋××x，解得

∴D(，0)

(3) ②是對的（基本結論）.

過點O作OE⊥OM，并使OE=OM，

在△MOB和△EOA中，

OB=OA，∠MOB=∠AOE，OM=OE，

∴△MOB≌△EOA，

∴BM=AE，∠B=∠OAE，

在△MON和△EON中，

OM=OE，∠MON=∠NOE=45°，ON=ON，

∴△MON≌△EON；

∴MN=NE，

又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°，

∴△NAE為直角三角形，

∴NA2+AE2=NE2

∴BM2+AN2=MN2，即結論②正確．