Question

【題目】如圖，E，F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點．且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：①AE=BF，②AE⊥BF，③AO=OE，④S△AOB=S四邊形DEOF中，錯誤的有 ． （只填序號）

Answer 1

【答案】③
【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，
∴AD﹣DF=CD﹣CE，
即AF=DE，
在△ABF和△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE=BF，故①正確；
∠ABF=∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ABF+∠BAO=90°，
在△ABO中，∠AOB=180°﹣（∠ABF+∠BAO）=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥BF，故②正確；
假設AO=OE，
∵AE⊥BF（已證），
∴AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，
所以，假設不成立，AO≠OE，故③錯誤；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE ，
∴S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF ，
即S△AOB=S四邊形DEOF ， 故④正確；
綜上所述，錯誤的有③．
所以答案是：③．
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．