Question

【題目】如圖，一次函數y＝k1x+b的圖象經過A（0，﹣2），B（1，0）兩點，與反比例函數的圖象在第一象限內的交點為M，若△OBM的面積為2．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥MP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，P的坐標為（11，0）.

【解析】

（1）根據一次函數y= k1x+b的圖象經過A（0，-2），B（1，0）可得到關于b、k1的方程組，進而可得到一次函數的解析式，設M（m，n）作MD⊥x軸于點D，由△OBM的面積為2可求出n的值，將M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M（3，4）在雙曲線y= 上即可求出k的值，進而求出其反比例函數的解析式；

（2）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由銳角三角函數的定義可得出OP的值，進而可得出結論．

解：（1）∵直線y＝k1x+b過A（0，﹣2），B（1，0）兩點

∴，

∴

∴一次函數的表達式為y＝2x﹣2．

∴設M（m，n），作MD⊥x軸于點D

∵S△OBM＝2，

∴ ，

∴

∴n＝4

∴將M（m，4）代入y＝2x﹣2得4＝2m﹣2，

∴m＝3

∵M（3，4）在雙曲線 上，

∴ ，

∴k2＝12

∴反比例函數的表達式為

（2）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，

∵MD⊥BP，

∴∠PMD＝∠MBD＝∠ABO

∴tan∠PMD＝tan∠MBD＝tan∠ABO＝ ＝2

∴在Rt△PDM中， ，

∴PD＝2MD＝8，

∴OP＝OD+PD＝11

∴在x軸上存在點P，使PM⊥AM，此時點P的坐標為（11，0）