Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．

（1）求二次函數y＝ax2+bx+c的表達式；

（2）點P在第一象限的拋物線上，且能夠使△ACP得面積最大，求點P的坐標；

（3）在（2）的前提下，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△APQ為直角三角形，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P（3，5）；（3）點Q坐標為（2，﹣）或（2，）或（2，1）或（2，4）

【解析】

（1）將A、B、C三點代入，可求得拋物線的解析式；

（2）設P(m，﹣m2+m+4)，先求出AC的解析式，從而得出點E的坐標，進而得出PE的長，從而求得用m表示的△PCA的面積，最后根據二次函數的特點，求出最值；

（3）設設點Q的坐標為（2，m），根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式求出AQ2、PQ2和AP2，存在3種情況，一種是∠QAP=90°，第二種是∠AQP=90°，第三種是∠QPA=90°時，利用勾股定理分別求解即可．

解：（1）把A(6，0)，B(﹣2，0)，C(0，4)的坐標代入y＝ax2+bx+c，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4．

（2）作PE∥OC交AC于E．

設P(m，﹣m2+m+4)．

設直線AC的解析式為y＝kx+d

將點A和點C的坐標代入，得

解得：

∴直線AC的解析式為y＝﹣x+4，

∴E(m，﹣m+4)，

∴PE＝﹣m2+2m，

∴S△PAC＝×(﹣m2+2m)×6＝﹣m2+6m＝﹣(m﹣3)2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3時，△PAC的面積最大，

∴P(3，5)．

（3）∵A(6，0)，P(3，5)，拋物線y＝﹣x2+x+4的對稱軸為直線x=2

∴可設點Q的坐標為（2，m）

∴AQ2=

PQ2=

AP2=

①當∠QAP=90°時，則AQ2＋AP2= PQ2

即＋34=

解得：m=

∴Q(2，)

②當∠AQP=90°時，則AQ2＋PQ2= AP2

即＋=34

解得：m1=1，m2=4

∴Q(2，1)或(2，4)

③當∠QPA=90°時，則AP2＋PQ2= AQ2

即34＋=

解得：m=

∴Q(2，)

綜上所述，滿足條件的點Q坐標為(2，)或(2，)或(2，1)或(2，4)．