Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：正方形折疊中的數學

已知正方形紙片ABCD中，AB=4，點E是AB邊上的一點，點G是CE的中點，將正方形紙片沿CE所在直線折疊，點B的對應點為點B′．

(1)如圖1，當∠BCE=30°時，連接BG，B′G，求證：四邊形BEB′G是菱形；

深入探究：

(2)在CD邊上取點F，使DF=BE，點H是AF的中點，再將正方形紙片ABCD沿AF所在直線折疊，點D的對應點為D′，順次連接B′，G，D′，H，B'，得到四邊形B′GD′H．

請你從A，B兩題中任選一題作答，我選擇　 　題．

A題：如圖2，當點B'，D′均落在對角線AC上時，

①判斷B′G與D′H的數量關系與位置關系，并說明理由；

②直寫出此時點H，G之間的距離．

B題：如圖3，點M是AB的中點，MN∥BC交CD于點N，當點B'，D′均落在MN上時，

①判斷B′G與D′H的數量關系與位置關系，并說明理由；

②直接寫出此時點H，G之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）A或B；A題：①B′G=D′H，B′G∥D′H；②GH=8﹣4；

B題：①B′G=D′H，B′G∥D′H；②GH= 4﹣4．

【解析】

（1）根據正方形的性質，旋轉的性質，可得BE=BE′，∠CB′E=∠ABC=90°，然后根據“直角三角形斜邊上的中線，30度角所對直角邊為斜邊的一半”即可證明四邊形BEB′G是菱形；（2）A題：①如圖2，根據正方形的性質通過“邊角邊”易證△BCE≌△ADF（SAS），可得CE=AF，∠3=∠4，根據旋轉的性質與直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半可得B′G=D′H，根據平行線的判定可證B′G∥D′H；

②連接GH，則四邊形AEGH是平行四邊形，所以AE=GH，設BE=EB′=m，則AE=m，可得關于m的方程m+m=4，，求解方程即可；

B題：①如圖3，得出的結論與解題思路同A題中的①；

②連接GH，則四邊形AEGH是平行四邊形，在Rt△CNB′中，利用勾股定理求得NB′=2，即MB′=4﹣2，設BE=EB′=y，在R△EMB′中，則有y2=（2﹣y）2+（4﹣2）2，然后求解方程，最后根據GH=AE=AB﹣BE即可得到答案.

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

由折疊可知：BE=BE′，∠CB′E=∠ABC=90°，

在Rt△BCE和Rt△ECB′中，

∵EG=GC，

∴BG=EC，GB′=EC，

∴BG=GB′，

在Rt△BCE中，

∵∠BCE=30°，

∴BE=CE，

∴BE=EB′=B′G=BG，

∴四邊形BEB′G是菱形；

（2）選A或B．

A題：①結論：B′G=D′H，B′G∥D′H．

理由：如圖2中，

由（1）得到：B′G=CE，

∵點G是CE的中點，

∴CG=CE，

∴B′G=CG，

∴∠1=∠2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D=90°，AD=BC，

∵BE=DF，

∴△BCE≌△ADF（SAS），

∴CE=AF，∠3=∠4，

由折疊可知：∠D=∠AD′F=90°，∠2=∠3，∠4=∠5，

∴∠2=∠5=∠1，

在Rt△AD′F中，

∵H是AF的中點，

∴D′H=AH=AF，

∴B′G=D′H，∠5=∠6，

∴∠1=∠6，

∴B′G∥D′H；

②連接GH，則四邊形AEGH是平行四邊形，

∴AE=GH，設BE=EB′=m，則AE=m，

∴m+m=4，

∴m=4﹣4，

∴GH=AE=8﹣4；

B題：①結論：B′G=D′H，B′G∥D′H．

理由：

由（1）得到：B′G=CE，

∵點G是CE的中點，

∴CG=CE，

∴B′G=CG，

∴∠1=∠2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D=90°，AD=BC，AD∥BC，

∵BE=DF，

∴△BCE≌△ADF（SAS），

∴CE=AF，∠3=∠4，

由折疊可知：∠D=∠AD′F=90°，∠2=∠3，∠4=∠5，

∴∠2=∠5=∠1，

在Rt△AD′F中，

∵H是AF的中點，

∴D′H=AH=AF，

∴B′G=D′H，∠5=∠6，

∴∠1=∠6，

∵MN∥BC，

∴MN∥BC∥AD，

∴∠AD′M=∠DAD′=2∠4，∠CB′N=∠BCB′=2∠3，

∴∠AD′M=∠CB′N，

∴∠AD′M+∠6=∠CB′N+∠1，

即∠HD′M=∠GB′N，

∴B′G∥D′H；

②連接GH，則四邊形AEGH是平行四邊形，

∴AE=GH，

在Rt△CNB′中，CB′=4，CN=2，

∴NB′=2，

∴MB′=4﹣2，

設BE=EB′=y，

在R△EMB′中，則有y2=（2﹣y）2+（4﹣2）2，

∴y=8﹣4，

∴GH=AE=AB﹣BE=4﹣4．