Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，邊長為1的正方形的一個頂點D在邊AC上，與△ABC另兩邊分別交于點E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點D保持在AC上（D不與A重合），設AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．

(1)求y與x的函數(shù)關系式并寫出自變量x的取值范圍；

(2)x為何值時y的值最大？

(3)x在哪個范圍取值時y的值隨x的增大而減小？

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）；（3）

【解析】

試題（1）當點D保持在AC上時，正方形與△ABC重疊部分為直角梯形DEBF，根據(jù)直角梯形的面積公式，只需用含x的代數(shù)式分別表示出上底DE、下底BF及高DF的長度即可．由△ADF為等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；則AD=x，下底BF=AB-AF=1-x；進而得出CD=AC-AD=1-x，再根據(jù)等腰三角形及平行線的性質可證∠C=∠CED，得出上底DE=CD1-x；根據(jù)點D保持在AC上，且D不與A重合，可知0＜AD≤1，從而求出自變量x的取值范圍；

（2）由（1）知，y是x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質，可知當x=-時，y的值最大；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，當a＜0時，在對稱軸x=-的右側，y的值隨x的增大而減小．

試題解析：解：（1）∵∴

∵ DE∥AB

∴

∴

∴

在Rt△ADF中，

∵∴

∴

∴

∴

（2）當時，有最大值

（3）當時，隨的增大而減小．