Question

9．如圖，圖甲中△ABC是等邊三角形，其邊長是3，圖乙中△DEF是等腰直角三角形，∠F=90°，DF=EF=3．
（1）記S₁為△ABC的面積，S₂為△DEF的面積，S₁=$\frac{1}{2}AB$•BC•sin∠B，S₂=$\frac{1}{2}DE•DF$•sin∠D，請通過計算說明S₁與S₃•S₂與S₄之間有著怎樣的關系．
（2）在圖丙中，∠P=α（α為銳角），OP=m，PQ=n，△OPQ的面積為S，請你根據第（1）小題的解答，直接寫出S與m、n以及α之間的關系式，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，如圖甲，在Rt△ABD中，利用正弦定義得到AD=AB•sinB，則根據三角形面積公式得到△ABC的面積=$\frac{1}{2}$•AD•BC=$\frac{1}{2}$•AB•BC•sinB，于是得到S₁=S₃；
如圖乙，同樣方法可得S₂=S₄；
（2）作OH⊥PQ于H，如圖丙，在Rt△OPH中利用正弦定義得到OH=OP•sinP=m•sinα，然后根據三角形面積公式可得△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•OH•PQ=$\frac{1}{2}$•m•n•sinα．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如圖甲，
在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=AB•sinB，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$•AD•BC=$\frac{1}{2}$•AB•BC•sinB，
∴S₁=S₃；
如圖乙，在Rt△DEF中，
∵sinD=$\frac{EF}{DE}$，
∴EF=DE•sinD，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$•EF•DF=$\frac{1}{2}$•DE•DF•sinD，
∴S₂=S₄；
（2）作OH⊥PQ于H，如圖丙，
在Rt△OPH中，∵sinP=$\frac{OH}{OP}$，
∴OH=OP•sinP=m•sinα，
∴△OPQ的面積=$\frac{1}{2}$•OH•PQ=$\frac{1}{2}$•m•n•sinα，
即S=$\frac{1}{2}$mn•sinα．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了三角形面積公式．