Question

【題目】已知函數y＝（n為常數）．

（1）當n＝1時，

①點P（﹣3，m）在此函數圖象上，求m的值．

②當﹣4≤x≤3時，求此函數的最大值和最小值．

（2）當x＜n時，若此函數的圖象與坐標軸只有兩個交點，求n的取值范圍．

（3）若n＞0，當此函數的圖象與以A（0，3）、B（5，﹣2）、C（﹣5，﹣2）、D（﹣5，3）為頂點的四邊形的邊有且只有四個公共點時，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①-1；②最大值為5，最小值為﹣6；（2）0＜n≤；（3）1＜n≤或2.6＜n＜2.9．

【解析】

（1）①利用待定系數法解決問題即可．
②分別求出分段函數在-4≤x≤3上的最大值以及最小值即可解決問題．
（2）分n＞0，n=0，n＜0三種情形畫出圖形分別求解即可．
（3）分兩種情形：如圖3-1中，當四邊形ABCD與函數y=-x2-2nx+2（x＜n）有3個交點，與函數y=x2-2nx+2（x≥n）有1個交點時，如圖3-2中，當四邊形ABCD與函數y=-x2-2nx+2（x＜n）有2個交點，與函數y=x2-2nx+2（x≥n）有2個交點時，
分別構建不等式組解決問題即可．

（1）n＝1時，函數為y＝，

①∵P（﹣3，m）在函數圖象上，

∴m＝﹣9+6+2＝﹣1．

②當﹣4≤x＜1時，y＝﹣x2﹣2x+2，最小值為﹣16+8+2＝﹣6，最大值為﹣1+2+2＝3，

當1＜x≤3時，y＝x2﹣2x+2，最小值為1﹣2+2＝1，最大值為9﹣6+2＝5，

綜上所述，當﹣4≤x≤3時，此函數的最大值為5，最小值為﹣6．

（2）①當n＞0時，圖象如圖所示，

當函數y＝﹣x2﹣2nx+2，x＝n時，y≥0即可滿足條件，

∴﹣n2﹣2n2+2≥0，

解得﹣≤n≤，

∵n＞0，

∴0＜n≤．

②當n＝0時，顯然不符合題意．

③當n＜0時，不存在符合條件的n的值．

綜上所述，滿足條件的n的值為0＜n≤．

（3）如圖3﹣1中，當四邊形ABCD與函數y＝﹣x2﹣2nx+2（x＜n）有3個交點，與函數y＝x2﹣2nx+2（x≥n）有1個交點時，

滿足：，

解得1＜n≤．

如圖3﹣2中，當四邊形ABCD與函數y＝﹣x2﹣2nx+2（x＜n）有2個交點，與函數y＝x2﹣2nx+2（x≥n）有2個交點時，

滿足：，

解得2.6＜n＜2.9．

綜上所述，滿足條件的n的值為1＜n≤或2.6＜n＜2.9．