Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于點O，OE⊥AB于點E，以點O為圓心，OE為半徑作半圓，交AO于點F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若點F是OA的中點，OE＝3，求圖中陰影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，點P是BC邊上的動點，當PE+PF取最小值時，直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）當PE+PF取最小值時，BP的長為．

【解析】

（1）作OH⊥AC于H，如圖，利用等腰三角形的性質得AO平分∠BAC，再根據角平分線性質得OH=OE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）先確定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再計算出AE=3，然后根據扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S△AOE-S扇形EOF進行計算；

（3）作F點關于BC的對稱點F′，連接EF′交BC于P，如圖，利用兩點之間線段最短得到此時EP+FP最小，通過證明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值為3，然后計算出OP和OB得到此時PB的長．

（1）證明：作OH⊥AC于H，如圖，

∵AB＝AC，AO⊥BC于點O，

∴AO平分∠BAC，

∵OE⊥AB，OH⊥AC，

∴OH＝OE，

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵點F是AO的中點，

∴AO＝2OF＝6，

而OE＝3，

∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，

∴AE＝OE＝3，

∴圖中陰影部分的面積＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣；

（3）作F點關于BC的對稱點F′，連接EF′交BC于P，如圖，

∵PF＝PF′，

∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此時EP+FP最小，

∵OF′＝OF＝OE，

∴∠F′＝∠OEF′，

而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，

∴∠F′＝30°，

∴∠F′＝∠EAF′，

∴EF′＝EA＝3，

即PE+PF最小值為3，

在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，

在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，

∴BP＝2﹣＝，

即當PE+PF取最小值時，BP的長為．