Question

為推進節能減排，發展低碳經濟，深化“宜居重慶”的建設，我市某“用電大戶”用480萬元購得“變頻調速技術”后，進一步投入資金1520萬元購買配套設備，以提高用電效率達到節約用電的目的．已知該“用電大戶”生產的產品“草甘磷”每件成本費為40元．經過市場調研發現：該產品的銷售單價，需定在100元到300元之間較為合理．當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件新產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件；當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產品的銷售價格在200元的基礎上每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設銷售單價為x元），年銷售量為y萬件），年獲利為w萬元）．
（年獲利=年銷售額-生產成本-節電投資）
（1）直接寫出y與x間的函數關系式；
（2）求第一年的年獲利w與x函數關系式，并說明投資的第一年，該“用電大戶”是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？
（3）若該“用電大戶”把“草甘磷”的銷售單價定在超過100元，但不超過200元的范圍內，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小虧損）后，兩年的總盈利為1842萬元，請你確定此時銷售單價．在此情況下，要使產品銷售量最大，銷售單價應定為多少元？

Answer 1

（1）當100＜x≤200，
y=20-

x-100

10

×0.8，
∴y=-

2

25

x+28，
當200＜x≤300，
把x=200代入y=-

2

25

x+28，
得：y=12，
∴y=12-

x-200

10

×1，
y=-

1

10

x+32；

（2）當100＜x≤200時，
w=（x-40）y-（1520+480）
=(x-40)(-

2

25

x+28)-2000，
=-

2

25

x2+

156

5

x-3120，
=-

2

25

(x-195)2-78
∵-

2

25

＜0
x=195，w_最大=-78
當200＜x≤300時，
w=（x-40）y-（1520+480）
=(x-40)(-

1

10

x+32)-2000，
=-

1

10

x2+36x-3280，
=-

1

10

(x-180)2-40，
當x=180時，不在200＜x≤300范圍內，
∵-

2

25

＜0，∴當在200＜x≤300時，y隨x的增大而減小，
∴w＜-80
是虧損的，最少虧損為78萬元．（7分）

（3）依題意可知，當100＜x≤200時，第二年w與x關系為
w=(x-40)(-

2

25

x+28)-78
當總利潤剛好為1842萬元時，依題意可得(x-40)(-

2

25

x+28)-78=1842（8分）
整理，得x²-390x+38000=0
解得，x₁=190，x₂=200
∴要使兩年的總盈利為1842萬元，銷售單價可定為190元或200元．（9分）
∵對y=-

2

25

x+28，y隨x增大而減小
∴使銷售量最大的銷售單價應定為190元．（10分）