Question

在長株潭建設兩型社會的過程中，為推進節能減排，發展低碳經濟，我市某公司以25萬元購得某項節能產品的生產技術后，再投入100萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工．已知生產這種產品的成本價為每件20元．經過市場調研發現，該產品的銷售單價定在25元到30元之間較為合理，并且該產品的年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為：
（年獲利=年銷售收入﹣生產成本﹣投資成本）
（1）當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為多少萬件？
（2）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？
（3）第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項捐款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款；另一部分則為每銷售一件產品，就抽出一元錢作為捐款．若除去第一年的最大獲利（或最小虧損）以及第二年的捐款后，到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，請你確定此時銷售單價的范圍．

Answer 1

解：（1）∵25≦28≦30，
，
∴把28代入y=40﹣x得，
∴y=12（萬件），
答：當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為12萬件；
（2）①當 25≦x≦30時，
W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x²+60x﹣925=﹣（x﹣30）²﹣25，
故當x=30時，W最大為﹣25，及公司最少虧損25萬；
②當30＜x≤35時，
W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x²+35x﹣625=﹣（x﹣35）²﹣12.5，
故當x=35時，W最大為﹣12.5，及公司最少虧損12.5萬；
對比①，②得，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；
答：投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；
（3）①當 25≤x≤30時，
W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x²+59x﹣782.5，
令W=67.5，則﹣x²+59x﹣782.5=67.5
化簡得：x²﹣59x+850=0 ，
解得： x₁=25；x₂=34，
此時，當兩年的總盈利不低于67.5萬元，25≦x≦30；
②當30＜x≤35時，
W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x²+35.5x﹣547.5，
令W=67.5，則﹣x²+35.5x﹣547.5=67.5，
化簡得：x²﹣71x+1230=0  
解得：x₁=30；x₂=41，
此時，當兩年的總盈利不低于67.5萬元，30＜x≦35，
答：到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，此時銷售單價的范圍是25≦x≦30或
30＜x≦35．