Question

為推進節能減排，發展低碳經濟，深化“宜居重慶”的建設，我市某“用電大戶”用480萬元購得“變頻調速技術”后，進一步投入資金1520萬元購買配套設備，以提高用電效率達到節約用電的目的．已知該“用電大戶”生產的產品“草甘磷”每件成本費為40元．經過市場調研發現：該產品的銷售單價，需定在100元到300元之間較為合理．當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件新產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件；當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產品的銷售價格在200元的基礎上每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設銷售單價為x元），年銷售量為y萬件），年獲利為w萬元）．
（年獲利=年銷售額-生產成本-節電投資）
（1）直接寫出y與x間的函數關系式；
（2）求第一年的年獲利w與x函數關系式，并說明投資的第一年，該“用電大戶”是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？
（3）若該“用電大戶”把“草甘磷”的銷售單價定在超過100元，但不超過200元的范圍內，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小虧損）后，兩年的總盈利為1842萬元，請你確定此時銷售單價．在此情況下，要使產品銷售量最大，銷售單價應定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）分段討論當100＜x≤200和當200＜x≤300的函數關系式，
（2）由年獲利=年銷售額-生產成本-節電投資分別列出當100＜x≤200和200＜x≤300的利潤關系式，求出最大利潤，
（3）依題意可知，當100＜x≤200時，寫出第二年w與x關系為式，由兩年的總盈利為1842萬元，解得單價x．
解答：解：（1）當100＜x≤200，
y=20-×0.8，
∴，
當200＜x≤300，
把x=200代入y=-x+28，
得：y=12，
∴y=12-×1，
；

（2）當100＜x≤200時，
w=（x-40）y-（1520+480）
=，
=-，
=
∵
x=195，w_最大=-78
當200＜x≤300時，
w=（x-40）y-（1520+480）
=，
=，
=，
當x=180時，不在200＜x≤300范圍內，
∵，∴當在200＜x≤300時，y隨x的增大而減小，
∴w＜-80
是虧損的，最少虧損為78萬元．（7分）

（3）依題意可知，當100＜x≤200時，第二年w與x關系為

當總利潤剛好為1842萬元時，依題意可得（8分）
整理，得x²-390x+38000=0
解得，x₁=190，x₂=200
∴要使兩年的總盈利為1842萬元，銷售單價可定為190元或200元．（9分）
∵對，y隨x增大而減小
∴使銷售量最大的銷售單價應定為190元．（10分）
點評：本題主要考查二次函數的應用，用二次函數解決實際問題，比較簡單．