Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB長為6，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點D．

（1）求BD的長；

（2）將△ADC繞D點順時針方向旋轉90°，請補充旋轉后圖形，并計算CD的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4+.

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根據角平分線的定義可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根據等腰直角三角形的性質其解即可；

（2）延長CB到C′，使C′B=AC，連接C′D，根據勾股定理列式求出BC的長，再根據圓內接四邊形的對角互補求出∠CAD+∠DBC=180°，從而得到旋轉后AD與BD重合，C點的對應點C′與B、C在同一直線上，然后判斷出△C′DC為等腰直角三角形，再求出CC′，然后根據等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍計算即可得解．

解：（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，

∴∠DCA=∠BCD，

∴

∴AD=BD，

∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×6=3；

（2）延長CB到C′，使C′B=AC，連接C′D

在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，

∴BC=，

∵四邊形ACBD是圓內接四邊形，

∴∠CAD+∠DBC=180°，

∴△ADC繞D點順時針方向旋轉90°后，AD與BD重合，C點的對應點C′與B、C在同一直線上，且△C′DC為等腰直角三角形，

∵C′C=AC+BC=2+4，

∴在Rt△C′DC中，CD=C′D=C′C=4+．