Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點．

（1）線段AC的長度是　 　．

（2）如圖2，當⊙P與邊CD相切于點F時，求AP的長；

（3）不難發現，當⊙P與邊CD相切時，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數也在變化，若公共點的個數為4，直接寫出相對應的AP的值的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）AP＝；（3）＜AP＜或AP＝5．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理求解即可；

（2）連接PF，如圖3，利用平行四邊形的性質和切線的性質可得PF∥AC，進而可證明△DPF∽△DAC，然后根據相似三角形的性質列比例式求解即得AP的長；

（3）先利用平行四邊形的面積求出當⊙P與BC相切時圓的半徑，可發現此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊有5個公共點；再分兩種情況：①⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點；②⊙P過點A、C、D三點，分別求出即可得到答案．

解：（1）∵平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝10，

∴BC＝AD＝10，

∵AB⊥AC，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，

故答案為：8；

（2）如圖3所示，連接PF，設AP＝x，則DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P與邊CD相切于點F，

∴PF⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，即，

解得：x＝，

即AP＝；

（3）當⊙P與BC相切時，設切點為G，連接PG，如圖4，則SABCD＝×6×8×2＝10PG，解得：PG＝，此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為5；

①當⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點，與BC沒有公共點時，＜AP＜，即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4；

②當⊙P過點A、C、D三點，如圖5，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4，此時AP＝5，

綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP＝5，

故答案為：＜AP＜或AP＝5．