Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OCNM為矩形，如圖1，M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），已知m，n滿足．

（1）求m，n的值；

（2）①如圖1，P，Q分別為OM，MN上一點(diǎn)，若∠PCQ＝45°，求證：PQ＝OP+NQ；

②如圖2，S，G，R，H分別為OC，OM，MN，NC上一點(diǎn)，SR，HG交于點(diǎn)D．若∠SDG＝135°，，則RS＝______；

（3）如圖3，在矩形OABC中，OA＝5，OC＝3，點(diǎn)F在邊BC上且OF＝OA，連接AF，動(dòng)點(diǎn)P在線段OF是（動(dòng)點(diǎn)P與O，F不重合），動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA的延長(zhǎng)線上，且AQ＝FP，連接PQ交AF于點(diǎn)N，作PM⊥AF于M．試問：當(dāng)P，Q在移動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變求出線段MN的長(zhǎng)度；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝5，n=5；（2）①證明見解析；②；（3）MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，它的長(zhǎng)度為．

【解析】

（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

（2）①作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)三角形全等，證明△COE≌△CNQ和△ECP≌△QCP，由PE＝PQ＝OE+OP，得出結(jié)論；

②作輔助線，構(gòu)建平行四邊形和全等三角形，可得CSRE和CFGH，則CE＝SR，CF＝GH，證明△CEN≌△CE′O和△E′CF≌△ECF，得EF＝E′F，設(shè)EN＝x，在Rt△MEF中，根據(jù)勾股定理列方程求出EN的長(zhǎng)，再利用勾股定理求CE，則SR與CE相等，所以SR＝ ；

（3）在（1）的條件下，當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，求出MN的長(zhǎng)即可；如圖4，過(guò)P作PD∥OQ，證明△PDF是等腰三角形，由三線合一得：DM＝FD，證明△PND≌△QNA，得DN＝AD，則MN＝AF，求出AF的長(zhǎng)即可解決問題．

解：（1）∵ ，

又∵≥0，|5﹣m|≥0，

∴n﹣5＝0，5﹣m＝0，

∴m＝5，n=5．

（2）①如圖1中，在PO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使NQ＝OE，

∵CN＝OM＝OC＝MN，∠COM＝90°，

∴四邊形OMNC是正方形，

∴CO＝CN，

∵∠EOC＝∠N＝90°，

∴△COE≌△CNQ（SAS），

∴CQ＝CE，∠ECO＝∠QCN，

∵∠PCQ＝45°，

∴∠QCN+∠OCP＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ECP＝∠ECO+∠OCP＝45°，

∴∠ECP＝∠PCQ，

∵CP＝CP，

∴△ECP≌△QCP（SAS），

∴EP＝PQ，

∵EP＝EO+OP＝NQ+OP，

∴PQ＝OP+NQ．

②如圖2中，過(guò)C作CE∥SR，在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)E′，使OE′＝EN，得CSRE，且△CEN≌△CE′O，則CE＝SR，

過(guò)C作CF∥GH交OM于F，連接FE，得CFGH，則CF＝GH＝，

∵∠SDG＝135°，

∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°，

∴∠FCE＝∠SDH＝45°，

∴∠NCE+∠OCF＝45°，

∵△CEN≌△CE′O，

∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，

∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°，

∴∠E′CF＝∠FCE，

∵CF＝CF，

∴△E′CF≌△ECF（SAS），

∴E′F＝EF

在Rt△COF中，OC＝5，FC＝，

由勾股定理得：OF＝ ＝，

∴FM＝5﹣＝，

設(shè)EN＝x，則EM＝5﹣x，FE＝E′F＝x+，

則（x+）2＝（）2+（5﹣x）2，

解得：x＝，

∴EN＝，

由勾股定理得：CE＝ ＝，

∴SR＝CE＝．

故答案為．

（3）當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化．

理由：如圖3中，過(guò)P作PD∥OQ，交AF于D．

∵OF＝OA，

∴∠OFA＝∠OAF＝∠PDF，

∴PF＝PD，

∵PF＝AQ，

∴PD＝AQ，

∵PM⊥AF，

∴DM＝FD，

∵PD∥OQ，

∴∠DPN＝∠PQA，

∵∠PND＝∠QNA，

∴△PND≌△QNA（AAS），

∴DN＝AN，

∴DN＝AD，

∴MN＝DM+DN＝DF+AD＝AF，

∵OF＝OA＝5，OC＝3，

∴CF＝，

∴BF＝BC﹣CF＝5﹣4＝1，

∴AF＝，

∴MN＝AF＝，

∴當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，它的長(zhǎng)度為．