Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，．

（1）如圖1，求的值；

（2）如圖2，經過點的直線與直線交于點，與軸交于點，，交于點，設線段長為，求與的函數關系式；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點在第四象限，交于點，,點在第一象限，，點在軸上，點在上，交于點，，過點作，交于點， ，，，點的坐標為，連接，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先用b表示出點B和點A的坐標，然后利用勾股定理列出方程即可求出b的值；

（2）聯立直線BC的解析式和直線AB的解析式即可用n表示出點C的坐標，從而求出點D的坐標，從而求出與的函數關系式；

（3）過點C作CS⊥x軸于S，過點F作FT⊥x軸于T，過點G作GD⊥y軸于D，MN與y軸交于點I，根據相似三角形判定可得△RSC∽△ROB，列出比例式即可求出OR和CS，然后根據等角的銳角三角函數相等求出ON，再根據等腰直角三角形的性質求出NE，然后結合已知條件和等角的銳角三角函數相等求出TF，即可求出結論．

解：（1）當x=0時，y=b；當y=0時，x=

∴點B的坐標為（0，b），點A的坐標為（，0）

∴OB=b，OA=

根據勾股定理OB2＋OA2=AB2

b 2＋（）2=102

解得：b=8或-8（不符合已知條件，舍去）

∴b=8

（2）直線BC的解析式為，直線AB的解析式為

聯立

解得：

∴點C的坐標為（-2，-2n）

∵

∴點D的縱坐標為-2n

將y=-2n代入中，解得：x=

∴點D的坐標為

∴線段長=－（-2）=

（3）過點C作CS⊥x軸于S，過點F作FT⊥x軸于T，過點G作GD⊥y軸于D，MN與y軸交于點I

∴OD=，GD=

由（2）知點C坐標為（-2，-2n）

∴CS=-2n，OS=2

∵，CS∥y軸

∴RB=2RC，△RSC∽△ROB

∴

即

解得：n=-2，OR=4

∴CS=4

∵，GD∥x軸

∴=∠DGI

∴=tan∠DGI

∴

即

解得：

∵

∴∠CES=∠AEF=45°，∠QEH=∠QEF－∠AEF=45°

∴△CES、△EFT和△EHQ都是等腰直角三角形

∴CS=SE=4，ET=TF=， EH=HQ，設EH=HQ=a，則EQ=

∴EN=ON＋OE=ON＋SE－OS=9

∵，

∴EF=，PM=a，PH=9，

∴NH=EN＋EH=9＋a，MH=PH－PM=9－a

∴=

∴

解得：a=3

∴EF=

∴TF=

∴S△EFN=EN·TF=×9×1=