Question

【題目】如圖，直線y＝x﹣1與拋物線y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D兩點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)為C，連結(jié)AC．

（1）求A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），連接PA、PD．

①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時，求△PAD的面積；

②當(dāng)∠PDA＝∠CAD時，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），D（4，3）；（2）①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時，求△PAD的面積；②當(dāng)∠PDA＝∠CAD時，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解析】

（1）由于A、D是直線直線y＝x﹣1與拋物線y＝﹣x2+6x﹣5的交點(diǎn)，要求兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)，需可聯(lián)立方程組求解；

（2）①要求△PAD的面積，可以過P作PE⊥x軸，與AD相交于點(diǎn)E，求得PE，再用△PAE和△PDE的面積和求得結(jié)果；

②分兩種情況解答：過D點(diǎn)作DP∥AC，與拋物線交于點(diǎn)P，求出AC的解析式，進(jìn)而得PD的解析式，再解PD的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，便可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)P點(diǎn)在AD上方時，延長DP與y軸交于F點(diǎn)，過F點(diǎn)作FG∥AC與AD交于點(diǎn)G，則∠CAD＝∠FGD＝∠PDA，則FG＝FD，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），求出G點(diǎn)的坐標(biāo)（用m表示），再由FG＝FD，列出m的方程，便可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出DF的解析式，最后解DF的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立的方程組，便可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）聯(lián)立方程組，

解得，，，

∴A（1，0），D（4，3），

（2）①過P作PE⊥x軸，與AD相交于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，

∴P（2，3），E（2，1），

∴PE＝3﹣1＝2，

∴＝3；

②過點(diǎn)D作DP∥AC，與拋物線交于點(diǎn)P，則∠PDA＝∠CAD，

∵y=-x2+6x-5=-（x-3）2+4，

∴C（3，4），

設(shè)AC的解析式為：y=kx+b（k≠0），

∵A（1，0），

∴，

∴，

∴AC的解析式為：y=2x-2，

設(shè)DP的解析式為：y=2x+n，

把D（4，3）代入，得3=8+n，

∴n=-5，

∴DP的解析式為：y=2x-5，

聯(lián)立方程組，

解得，，，

∴此時P（0，-5），

當(dāng)P點(diǎn)在直線AD上方時，延長DP，與y軸交于點(diǎn)F，過F作FG∥AC，FG與AD交于點(diǎn)G，

則∠FGD=∠CAD=∠PDA，

∴FG=FD，

設(shè)F（0，m），

∵AC的解析式為：y=2x-2，

∴FG的解析式為：y=2x+m，

聯(lián)立方程組，

解得，，

∴G（-m-1，-m-2），

∴FG=，FD=，

∵FG=FD，

∴=，

∴m=-5或1，

∵F在AD上方，

∴m＞-1，

∴m=1，

∴F（0，1），

設(shè)DF的解析式為：y=qx+1（q≠0），

把D（4，3）代入，得4q+1=3，

∴q=，

∴DF的解析式為：y=x+1，

聯(lián)立方程組

∴，，

∴此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，

綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-5）或(，)．