Question

【題目】如圖，中，，是中點，是中點，是的外角的角平分線，延長交于點，連接.

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）填空：

①若，則四邊形的面積為_______；

②當滿足______時，四邊形是正方形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②答案不唯一，如當時，或者，當時，

【解析】

（1）根據AN是△ABC外角∠CAM的平分線，推得∠MAE=（∠B+∠ACB），再由∠B=∠ACB，得∠MAE=∠B，則AN∥BC，根據CE⊥AN，得出四邊形ADCE為矩形．
（2）①先證明四邊形ABDE為平行四邊形，由條件可證明△ABC為等邊三角形，求出BD和AD長，則四邊形ABDE的面積可求出；
②由（1）知四邊形ADCE是矩形，增加條件能使AD=DC即可．

（1）∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE=∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，點D為BC中點，
∴AD⊥BC，

∵，是中點， 是的外角的角平分線，

∴AD平分∠BAC, 是的外角的角平分線，

∴CE⊥AN，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形；
（2）①解：∵AB=AC，D是BC中點，F是AC中點，
∴DF∥AB，
由（1）知AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵BC=AB=4，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∵D為BC的中點，
∴∠ADC=90°，BD=2，
∴AD＝BDtan60°＝2×＝2，
∴四邊形ABDE的面積為BD×AD=2×2=4，
故答案為：4；
②解：答案不唯一，如當∠BAC=90°時，四邊形ADCE是正方形．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵D為BC的中點，
∴AD=DC，
∵四邊形ADCE為矩形，
∴四邊形ADCE為正方形．
故答案為：∠BAC=90°．