Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）15．

【解析】

（1）可先證得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可證得四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質可求得AD=CD，可證得結論；

（2）根據條件可證得S菱形ADCF=S△ABC，結合條件可求得答案．

（1）證明：∵E是AD的中點，

∴AE＝DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

在△AEF和△DEB中

，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

∵點D時BC中點，

∴BD=DC，

∴AF=DC，

∵AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，

∴AD＝CD＝BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（2）解：設AF到CD的距離為h，

∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，

∴S菱形ADCF＝CDh＝BCh=S△ABC，

∵S△ABC＝ABAC＝．

∴S菱形ADCF＝15.