Question

7．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，點P以每秒1個單位的速度從
A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都
停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒．
（Ⅰ）在運動過程中，請你用t表示P、Q兩點間的距離，并求出P、Q兩點間的距離
的最大值；
（Ⅱ）經過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分Q在AB邊上與Q在BC邊上，分別如圖1和圖2所示，表示出PQ的長，當Q與B重合時，PQ取得最大值，求出即可；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：當Q在AB邊上時，如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積為S_△AQP；當Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積為S_{四邊形ABQP}，分別表示出S與t的函數關系式即可．

解答 解：（Ⅰ）分兩種情況考慮：
當Q在AB邊上時，過Q作QE⊥AC，交AC于點E，連接PQ，如圖1所示：

∵∠C=90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{QE}{BC}$，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
根據勾股定理得：AB=10，
∵AQ=2t，AP=t，
∴$\frac{2t}{10}$=$\frac{t+PE}{8}$=$\frac{QE}{6}$，
整理得：PE=$\frac{3}{5}$t，QE=$\frac{6}{5}$t，
根據勾股定理得：PQ²=QE²+PE²，
整理得：PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t；
當Q在BC邊上時，連接PQ，如圖2所示：

由AB+BQ=2t，AB=10，得到BQ=2t-10，CQ=BC-BQ=6-（2t-10）=16-2t，
由AP=t，AC=8，得到PC=8-t，
根據勾股定理得：PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+Q{C}^{2}}$=$\sqrt{（16-2t）^{2}+（8-t）^{2}}$，
當Q與B重合時，PQ的值最大，
則當t=5時，PQ最大值為3$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：
當Q在AB邊上時，如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積為S_△AQP，
此時S=$\frac{1}{2}$AP•QE=$\frac{1}{2}$t•$\frac{6}{5}$t=$\frac{3}{5}$t²（0＜t≤5）；
當Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積為S_{四邊形ABQP}，
此時S=S_△ABC-S_△PQC=$\frac{1}{2}$×8×6-$\frac{1}{2}$（8-t）（16-2t）=-t²+16t-40（5＜t≤8）．
綜上，經過t秒的運動，△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式為$\left\{\begin{array}{l}{s=\frac{3}{5}{t}^{2}（0＜t≤5）}\\{s=-{t}^{2}+16t-40（5＜t≤8）}\end{array}\right.$．

點評 此題考查了動點問題的函數圖象，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及三角形面積求法，利用了分類討論的思想，分類討論時考慮問題要全面，做到不重不漏．