Question

（1997•陜西）如圖所示的拋物線是把y=-x²經過平移而得到的．這時拋物線過原點O和x軸正向上一點A，頂點為P；
①當∠OPA=90°時，求拋物線的頂點P的坐標及解析表達式；
②求如圖所示的拋物線對應的二次函數在-

1

2

≤x≤

1

2

時的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線由y=-x²平移得到，所以設y=-（x-a）²+b（a＞0），再把（0，0）代入可得到b=a²，故y=-（x-a）²+a²，過P作PM⊥x軸于M，OM=a，PM=a²，再根據P是拋物線頂點可知PO=PA，故可得出OM=AM，PM=

OA

2

=OM，由此可得出a的值，進而得出其拋物線的解析式；
（2）根據（1）中拋物線的頂點坐標與解析式可知，拋物線對應的二次函數在-

1

2

≤x≤

1

2

時，當x=

1

2

時，y有最大值；當x=-

1

2

時y有最小值．

解答：解：（1）∵拋物線由y=-x²平移得到，
∴設y=-（x-a）²+b（a＞0）
∵拋物線過（0，0），代入得0=-a²+b，
∴b=a²，y=-（x-a）²+a²
過P作PM⊥x軸于M，OM=a，PM=a²
∵P是拋物線頂點，
∴PO=PA，
∴OM=AM，PM=

OA

2

=OM，
∴a²=a，
∴a=1或a=0（舍去），
∴P（1，1），拋物線的解析式為y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（2）∵由（1）可知拋物線的頂點P（1，1），解析式為y=-（x-1）²+1=-x²+2x，
∴拋物線對應的二次函數在-

1

2

≤x≤

1

2

時，當x=

1

2

時，y_最大=-

1

4

+2×

1

2

=

3

4

；
當x=-

1

2

時，y_最小=

1

4

-2×

1

2

=-

3

4

．

點評：本題考查的是二次函數的性質，熟知二次函數的頂點坐標及等腰直角三角形的性質是解答此題的關鍵．