Question

6．在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據此構造處該島的一個數學模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B=90°，AB=BC=15千米，CD=3$\sqrt{2}$千米，AD=12$\sqrt{3}$千米．
（1）求小溪流AC的長．
（2）求四邊形ABCD的面積．（結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理即可得；
（2）由勾股定理逆定理得∠D=90°，從而由S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD可得答案．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AB=BC=15千米，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+1{5}^{2}}$=15$\sqrt{2}$千米；

（2）∵AC²=（15$\sqrt{2}$）²=450，CD²+AD²=（3$\sqrt{2}$）²+（12$\sqrt{3}$）²=450，
∴AC²=CD²+AD²，
則∠D=90°，
S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=$\frac{1}{2}$×15×15+$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$×$12\sqrt{3}$
=$\frac{225+36\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．