Question

【題目】如圖，已知⊙O是邊長為6的等邊△ABC的外接圓，點D，E分別是BC，AC上兩點，且BD＝CE，連接AD，BE相交于點P，延長線段BE交⊙O于點F，連接CF．

（1）求證：AD∥FC；

（2）連接PC，當△PEC為直角三角形時，求tan∠ACF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當△PEC為直角三角形時，tan∠ACF=或

【解析】

（1）先說明△ABD≌△BCE，然后再運用全等三角形的性質、圓周角的性質、角的和差以及平行線的判定定理解答即可；

（2）連接PC，分∠PCE=90°，∠CEP=90°和∠CPE=90°三種情況解答即可

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=2 , ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∵BD=CE．

∴△ABD≌△BCE(SAS)．

∴∠BAD=∠CBE．

∴∠BPD=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=60°

∵∠BAC=∠BFC=60°，

∴∠BPD=∠BFC．

∴AD∥FC．

(2) 當△PEC為直角三角形時，可分為三種情況：

∠PCE=90°或∠CEP=90°或∠CPE=90°．

①當∠PCE=90°時，

∵∠PCE<∠ACB=60°，

∴∠PCE=90°這種情況不存在．

②當∠CEP=90°時，

∵AB=BC=AC，

∴AE=EC，∠ABE=∠CBE=30°．

∴∠ACF=∠ABF=30°．

∴tan∠ACF=tan30°=．

③當∠CPE=90°時，過點A作AH⊥BC于點H，

設AE=x，則CD=AE=x，CE=6－x．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=3，∠HAC=∠HAB=30°．

∴HD=3－x．

∵∠BFC=60°，∠CPE=90°，

∴∠PCF=∠HAC=30°．

∵AD∥FC，

∴∠FCA=∠DAC．

∴∠PCF－∠FCA=∠HAC－∠DAC．

∴∠HAD=∠PCE．

∵∠AHD=∠CPE=90°

∴△AHD∽△CPE．

∴．

∴①．

∵∠BPD=∠APE=∠ACB=60° ∠PAE=∠CAD

∴△PAE∽△CAD．

∴．

∴②．

觀察①式和②式

可得：．

∴．

解得：x=2．

∴AE=2．

過點E作EG⊥AB于點G

∴在Rt△AEG中 ∠EAG=60°．

∴．

．

∴BG=AB-AG=5．

在Rt△BGE中，tan∠ABE=．

∴tan∠ACF=tan∠ABE=．

綜上所述，當△PEC為直角三角形時，tan∠ACF=或．