Question

如圖，反比例函數y=

k

x

（k＞0）與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點，OA=2，OC=4，連接OD、OE、DE．記△OAD、△OCE的面積分別為S₁、S₂．
（1）①點B坐標為______；②S₁______S₂（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）當點D為線段AB的中點時，求k的值及點E坐標；
（3）當S₁+S₂=2時，試判斷△ODE的形狀，并求△ODE的面積．

Answer 1

（1）①根據長方形OABC中，OA=2，OC=4，
則點B坐標為（4，2），
②∵反比例函數y=

k

x

（k＞0）與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點，
利用△OAD、△OCE的面積分別為S₁=

1

2

AD•AO，S₂=

1

2

•CO•EC，xy=k，得出，
S₁=

1

2

AD•AO=

1

2

k，S₂=

1

2

•CO•EC=

1

2

k，
∴S₁=S₂；

（2）當點D為AB中點時，AD=2，
∴D的坐標是（2，2），
把D（2，2）代入y=

k

x

得：
k=2×2=4，
∴y=

4

x

．
∵點B坐標為（4，2），
∴E點橫坐標為：4，
∴4×y=4，
∴y=1，
∴E點坐標為：（4，1）；

（3）當S₁+S₂=2時，∵S₁=S₂，
∴S₁=S₂=1，
∵S₁=

1

2

AD•AO=

1

2

AD×2=1，
∴AD=1，
∵S₂=

1

2

•CO•EC=

1

2

×4×EC=1，
∴EC=

1

2

，
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4-1=3，
BE=2-

1

2

=

3

2

，
∴DO²=AO²+AD²=4+1=5，
DE²=DB²+BE²=9+

9

4

=

45

4

，
OE²=CO²+CE²=16+

1

4

=

65

4

，
∴DO²+DE²=OE²，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO²=5，
∴DO=

5

，
∵DE²=

45

4

，
∴DE=

3 5

2

，
∴△ODE的面積為：

1

2

×DO×DE=

1

2

×

5

×

3 5

2

=

15

4

．